Estratégias de negociação geradas por funções de Lyapunov

Abstrato.
A geração de portfólio funcional, iniciada por E. R. Fernholz há quase vinte anos, é uma metodologia para a construção de estratégias de negociação com comportamento controlado. Baseia-se em pressupostos muito fracos e descritivos na estrutura de covariamento do modelo de mercado subjacente e não precisa de estimativa dos parâmetros do modelo. Neste artigo, as funções geradoras correspondentes $ G $ são interpretadas como funções de Lyapunov para o processo vetorial $ \ mu (\ cdot) $ de pesos de mercado; isto é, através da propriedade que $ G (\ mu (\ cdot)) $ é um supermartingale sob uma mudança de medida apropriada. Este ponto de vista unifica, generaliza e simplifica vários resultados existentes e permite a formulação de condições em que é possível superar o portfólio de mercado em horizonte temporal apropriado. Do ponto de vista probabilístico, o presente artigo produz resultados sobre a interação de fatores de desconto estocásticos e transformações côncavas de semimartingales em domínios compactos.
Baixe informações.
Se você tiver problemas ao fazer o download de um arquivo, verifique se você possui o aplicativo apropriado para vê-lo primeiro. Em caso de problemas adicionais, leia a página de ajuda IDEAS. Observe que esses arquivos não estão no site IDEAS. Seja paciente porque os arquivos podem ser grandes.
Informações bibliográficas.
Pesquisa relacionada.
Referências.
Referências listadas em IDEAS.
Informe os erros de citações ou de referência, ou, se você é o autor registrado do trabalho citado, faça login no seu perfil de Serviço de Autor RePEc, clique em "citações" e faça os ajustes apropriados .:
As citações são extraídas pelo Projeto CitEc, assine seu feed RSS para este item.
Este item não está listado na Wikipédia, em uma lista de leitura ou entre os principais itens em IDEAS.
Estatisticas.
Correções.
Ao solicitar uma correção, mencione o identificador deste item: RePEc: arx: papers: 1603.08245. Veja informações gerais sobre como corrigir o material no RePEc.
Para questões técnicas relacionadas a este item, ou para corrigir seus autores, títulos, resumo, informações bibliográficas ou de download, contate: (administradores do arXiv)
Se você é autor deste item e ainda não está registrado no RePEc, recomendamos que você o faça aqui. Isso permite vincular seu perfil a este item. Ele também permite que você aceite citações em potencial para este item sobre o qual não temos certeza.
Se as referências faltam completamente, você pode adicioná-las usando este formulário.
Se as referências completas listarem um item que está presente no RePEc, mas o sistema não ligou a ele, você pode ajudar com este formulário.
Se você souber de itens faltantes citando este, você pode nos ajudar a criar esses links, adicionando as referências relevantes da mesma maneira que acima, para cada item referente. Se você é um autor registrado deste item, você também pode querer verificar a guia "citações" em seu perfil, pois pode haver citações em espera de confirmação.
Observe que as correções podem levar algumas semanas para filtrar os vários serviços do RePEc.
Mais serviços.
Siga as séries, revistas, autores e Mais.
Novos trabalhos de.
Inscreva-se para novas adições ao RePEc.
Registro de autor.
Perfis públicos para pesquisadores de economia.
Vários rankings de pesquisa em Economia e Campos relacionados.
Quem era um aluno de quem, usando RePEc.
RePEc Biblio.
Artigos curados e amp; artigos sobre vários temas econômicos.
Carregue o seu papel para ser listado em RePEc e IDEAS.
EconAcademics.
Agregador de blogs para pesquisa econômica.
Plágio.
Casos de plágio em Economia.
Documentos de mercado de trabalho.
Série de papel de trabalho RePEc dedicada ao mercado de trabalho.
Fantasy League.
Imagine que você está no comando de um departamento de economia.
Serviços do StL Fed.
Dados, pesquisa, aplicativos e mais do St. Louis Fed.

Estratégias de negociação geradas por funções de Lyapunov.
Ioannis Karatzas e Johannes Ruf.
Resumo: A geração funcional de portfólio, iniciada pela E. R. Fernholz há quase vinte anos, é uma metodologia para a construção de estratégias de negociação com comportamento controlado. Baseia-se em pressupostos muito fracos e descritivos na estrutura de covariamento do modelo de mercado subjacente e não precisa de estimativa dos parâmetros do modelo. Neste artigo, as funções geradoras correspondentes $ G $ são interpretadas como funções de Lyapunov para o processo vetorial $ \ mu (\ cdot) $ de pesos de mercado; isto é, através da propriedade que $ G (\ mu (\ cdot)) $ é um supermartingale sob uma mudança de medida apropriada. Este ponto de vista unifica, generaliza e simplifica vários resultados existentes e permite a formulação de condições em que é possível superar o portfólio de mercado em horizonte temporal apropriado. Do ponto de vista probabilístico, o presente artigo produz resultados sobre a interação de fatores de desconto estocásticos e transformações côncavas de semimartingales em domínios compactos.
Downloads: (link externo)
Este item pode estar disponível em outros lugares no EconPapers: procure itens com o mesmo título.
Referência de exportação: BibTeX RIS (EndNote, ProCite, RefMan) HTML / Texto.
Dados da série mantidos pelos administradores do arXiv ().
O seu trabalho está faltando no RePEc? Aqui está como contribuir.
Perguntas ou problemas? Verifique as perguntas frequentes do EconPapers ou envie um e-mail para.

Estratégias de negociação geradas pelas funções de lyapunov
O diretor-fundador da ICERM, Jill Pipher, foi eleito para servir como presidente da American Mathematical Society. Ela atuará como presidente eleito a partir de janeiro de 2018, então como presidente por dois anos a partir de janeiro de 2019.
A ICERM tinha uma casa cheia para sua palestra "Musical Geometry, Games e Multimedia Art", com Dmitri Tymoczko da Universidade de Princeton.
A Fundação Simons estabeleceu a colaboração Simons sobre geometria aritmética, teoria dos números e computação, a ser dirigida pelo Brendan Hassett da ICERM.
A ICERM agradece à Microsoft Research por seu recente presente de US $ 50.000.
Os pesquisadores de graduação da SummerICERM aprendem sobre a geometria dos espaços métricos.
A ICERM ficou satisfeita por sediar a oficina de verão da Experiência de Pesquisa para a Faculdade de Graduação (REUF).
Graças aos organizadores da Primavera de 2017 "Singularities and Waves In Incompressible Fluids" programa de semestre.
Não há eventos programados para hoje.
Segunda-feira, 11 de dezembro de 2017.
Terça-feira, 12 de dezembro de 2017.
Quarta-feira, 13 de dezembro de 2017.
Quinta-feira, 14 de dezembro de 2017.
Não há eventos agendados.
Sexta-feira, 15 de dezembro de 2017.
Não há eventos agendados.
Eli sucede Homer Walker, que completará 4 1/2 anos de serviço como Diretor Adjunto no final deste ano. Estamos muito gratos pelo sábio conselho de Homer e pelo gerenciamento cuidadoso de inúmeras oficinas e programas semestrais.
Oportunidades.
Visitantes do Programa Semestre.
O ICERM dá as boas-vindas a aplicativos para visitantes de programas semestrais que desejam gastar entre 2 semanas e um semestre na ICERM para participar de um dos nossos programas semestrais. O interesse da pesquisa dos visitantes do programa semestre deve se relacionar com o programa semestral. Os pedidos podem ser apresentados em qualquer momento até o final do programa de semestre e serão considerados enquanto os fundos permanecerem disponíveis. Aplicar nos próximos programas com o Cube.
Participantes na oficina.
As oficinas do ICERM, tanto no semestre quanto na atualidade, oferecem outras oportunidades de participação em nossas atividades. O financiamento para participação na oficina é limitado. Solicite as próximas oficinas com o Cube. As decisões sobre aplicativos online geralmente são feitas 1-3 meses antes da oficina.
A cada ano, a ICERM executa o SummerICERM, um programa de pesquisa de graduação que abrange oito semanas. Nosso programa envolve aproximadamente 15-20 estudantes de graduação que trabalham em grupos de dois ou três, supervisionados por assessores de faculdade e auxiliados por assistentes de ensino. As viagens dentro dos EUA e as despesas de hospedagem são pagas, e cada participante recebe um salário de US $ 3.000 (os alunos Brown normalmente recebem uma bolsa UTRA em vez do salário SI). As propostas para programas de pesquisa de graduação são escolhidas de forma competitiva, e os alunos de graduação precisam candidatar-se para participar. Veja detalhes sobre o programa do verão de 2018.
A ICERM recebe as candidaturas de estudantes de pós-graduação que desejam gastar entre 6 semanas e um semestre na ICERM para participar de um de nossos programas semestrais. O ICERM fornecerá espaço de trabalho, computadores compartilhados e armários; A ICERM oferece suporte para viagens ao instituto e acomodações locais. O interesse da pesquisa em estudantes de pós-graduação em visita deve se relacionar com o programa de semestre. Os pedidos podem ser apresentados em qualquer momento até o final do programa de semestre e serão considerados desde que os fundos e o espaço permaneçam disponíveis.
Se você está interessado em se candidatar para participar de uma oficina, você precisará solicitar que seu consultor envie uma declaração de suporte. Estudantes de pós-graduação que apresentam um cartaz em uma oficina do ICERM geralmente recebem financiamento para acomodações locais.
Aplicar nos próximos programas usando o Cube.
A ICERM traz matemáticos de início da carreira para o instituto, a fim de apoiar e expandir suas pesquisas e criar colaborações e conexões de carreira duradouras. Existem três maneiras de participar como um associado pós-doutorado em um programa de semestre ICERM:
Companheiros do Instituto de Pós-Doutorado: O instituto financia dois cargos pós-médicos de pós-graduação que incluem salário e benefícios. Cada Postdoc do Instituto é um participante da pesquisa em um dos programas semestrais planejados para esse ano acadêmico e permanece no instituto durante o semestre alternativo como pesquisador em residência. Os aplicativos para as posições 2018-2019 estão abertos no Mathjobs. org. Companheiros de Pós-Doutorado em Semestres: estes pesquisadores pós-médicos estão associados a um programa específico e estão em residência para esse semestre, apoiados por salários e benefícios mensais. Os aplicativos para as posições 2018-2019 estão abertos no Mathjobs. org. Visitantes pós-doutoramento: pesquisadores pós-doutorados com apoio de suas instituições de origem podem solicitar apoio de viagem e / ou alojamento para participar de um programa semestral ICERM. Vá para o sistema "Cube" da ICERM para se inscrever.
Cada pesquisador pós-docente é acompanhado de um participante sénior de longo prazo para garantir orientação e orientação profissional. O instituto oferece uma série de atividades de desenvolvimento profissional para pesquisadores pós-docentes e estudantes de pós-graduação. Um seminário semanal de pós-graduação / pós-doutorado facilita conexões entre pesquisadores de pós-graduação e pesquisadores pós-doutorados.
O ICERM encoraja propostas para programas que apoiem sua missão de promover e ampliar a relação entre matemática e computação. Congratulamo-nos com as suas ideias para programas semestrais, oficinas de tópicos, pesquisa em pequenos grupos (CollaborateICERM) e nossos programas de pesquisa de graduação SummerICERM. Como propor um Programa ou Oficina.

Estratégias de negociação geradas pelas funções da Lyapunov.
Ioannis Karatzas Johannes Ruf autor.
A geração de portfólio funcional, iniciada por E. R. Fernholz há quase 20 anos, é uma metodologia para a construção de estratégias de negociação com comportamento controlado. Baseia-se em pressupostos muito fracos e descritivos na estrutura de covariamento do mercado subjacente e não precisa de estimativa dos parâmetros do modelo. Neste artigo, as funções geradoras correspondentes \ (G \) são interpretadas como funções de Lyapunov para o processo vetorial \ (\ mu \) de pesos relativos do mercado; isto é, através da propriedade que o processo \ (G (\ mu) \) é um supermartingale sob uma mudança de medida apropriada. Este ponto de vista unifica, generaliza e simplifica muitos resultados existentes e permite a formulação de condições em que é possível superar o portfólio de mercado em horários de tempo adequados. Do ponto de vista probabilístico, a abordagem oferecida aqui produz resultados sobre a interação de fatores estocásticos de desconto e transformações côncavas de semimartingales em domínios compactos.
Dedicado ao Dr. E. Robert Fernholz por ocasião do seu 75º aniversário.
Matemática Classificação do Assunto (2010)
Classificação JEL.
1. Introdução.
Há quase 20 anos, E. R. Fernholz [8] introduziu uma construção de carteira que foi notável e extremamente fácil de estabelecer. Ele mostrou que, para uma certa classe das chamadas carteiras "geradas funcionalmente", é possível expressar a riqueza que essas carteiras geram, descontadas (ou seja, denominadas em termos) da capitalização de mercado total, unicamente em termos de indivíduo pesos de mercado das empresas - e fazê-lo de uma maneira que não envolve a integração estocástica. Este fato pode ser comprovado por uma aplicação bastante determinada da regra de Itô. Uma vez que o resultado é conhecido, sua prova se torna um exercício moderado no cálculo estocástico.
A descoberta abriu o caminho para encontrar condições estruturais simples e muito gerais em grandes mercados de ações - que envolvem mais de um estoque e, normalmente, milhares - sob o qual é possível superar estritamente o portfólio de mercado. Coloque um pouco diferente, condições sob as quais é possível uma forte arbitragem relativa em relação ao portfólio de mercado, pelo menos em horizontes temporais suficientemente longos. Fernholz [7, 8, 9] mostrou também como implementar esta forte arbitragem relativa, ou "desempenho superior", utilizando carteiras que podem ser construídas unicamente em termos de quantidades observáveis ​​e sem necessidade de estimativa ou otimização. Pal e Wong [21] geração funcional relacionada ao transporte ideal em tempo discreto; e Schied et al. [27] desenvolveu uma versão dependente do caminho da teoria, com base em cálculos estocásticos funcionais.
Embora bem conhecido, comemorado e bastante fácil de provar, a construção de Fernholz foi vista nos últimos 15 anos como algo "misteriosa". Neste artigo, esperamos ajudar a tornar o resultado um pouco mais celebrado e um pouco menos misterioso, através de um interpretação de funções geradoras de portfólio \ (G \), pois Lyapunov funciona para o processo vetorial \ (\ mu \) de pesos relativos do mercado. Ou seja, através da propriedade que \ (G (\ mu) \) é um supermartingale sob uma mudança de medida apropriada; veja Observação 3.4 para elaboração. Nós generalizamos essa geração funcional de carteiras para estratégias de negociação que podem envolver vendas curtas, bem como para situações em que alguns, mas não todos, os pesos do mercado podem desaparecer. Ao longo do caminho, simplificamos consideravelmente os argumentos subjacentes; apresentamos a nova noção de "geração funcional aditiva" de estratégias e comparamos a geração "multiplicativa" em [7, 8, 9]; e respondemos uma velha pergunta sobre [7, Problema 4.2.3], veja também [21] em tempo discreto. As condições para uma forte arbitragem relativa em relação ao mercado em horizontes de tempo adequados tornam-se extremamente simples através dessa interpretação, assim como as estratégias que implementam essa arbitragem relativa e as provas que estabelecem esses resultados; ver Teoremas 5.1 e 5.2.
Nós lançamos todos os nossos resultados no quadro de semimartingales contínuos para os pesos do mercado; Isso nos parece um compromisso muito bom entre generalidade, por um lado, e concisão e legibilidade, por outro. O leitor irá facilmente decidir qual dos resultados pode ser estendido para semimartingales gerais, e que não pode.
Aqui está um esboço do artigo. A Seção 2 apresenta o modelo de mercado e lembra os conceitos financeiros de estratégias de negociação, arbitragem relativa e deflatores. A seção 3 apresenta as noções de funções regulares e Lyapunov. A Seção 4 discute como essas funções geram estratégias de negociação, tanto "aditivamente" quanto "multiplicativamente"; e Sect. 5 usa essas observações para formular condições que garantam a existência de arbitragem relativa em relação ao mercado em horizontes temporais suficientemente longos. A Seção 6 contém vários exemplos relevantes para funções regulares e Lyapunov e as estratégias geradas correspondentes. A Seção 7 prova que as funções côncavas que satisfazem certos pressupostos adicionais são, de fato, Lyapunov, e fornece contraexemplos se essas premissas adicionais não estão satisfeitas. Finalmente, a Sect. 8 conclui.
2 A configuração.
2.1 Modelo de mercado.
Em um determinado espaço de probabilidade \ ((\ varOmega, \ mathscr, \ mathbb) \) dotado de uma filtragem contínua direta \ (\ mathfrak = (\ mathscr (t)) _ \) que satisfaça \ (\ mathscr (0) = \ \) mod. ℙ, consideramos um processo vetorial \ (=, \ dots, S_)> ^ \) de semimartingales contínuos e não negativos com \ (S_ (0) & gt; 0, \ dots, S_ (0) & gt; 0 \) e.
$$ \ mathbb [\ varSigma (t) & gt; 0, \, \, \ forall \, \, t \ geq0] = 1. $$
2.2 Estratégias de negociação.
Definição 2.1.
O resultado a seguir pode ser comprovado através de uma aplicação bastante determinada da regra de Itô. Formaliza a ideia intuitiva de que o conceito de estratégia de negociação não deve depender da maneira como os preços ou capitalizações são citados. Referimo-nos a [12, Proposição 1] ou [14, Lema 2.9] para uma prova.
Proposição 2.2.
Proposição 2.3.
2.3 Arbitragem relativa em relação ao mercado.
2.4 Defladores.
Proposição 2.5.
Observação 2.6.
Se um deflator \ (Z \) existe e é um martingale, então para qualquer \ (T & gt; 0 \), podemos definir uma medida de probabilidade em \ (\ mathscr (T) \) via \ (\ mathbb _ (A) = \ mathbb ^> [Z (T) \ mathbf _] \), \ (A \ in \ mathscr (T) \). Sob esta medida, os pesos do mercado \ (\ mu_ (\ cdot \ wedge T), i = 1, \ dots, d \), são martingales locais, portanto martingales reais, à medida que tomam valores em [0,1].
3 funções regulares e Lyapunov para semimartingales.
$$ \ mathbb [X (t) \ in \ mathfrak, \, \, \ forall \, \, t \ geq0] = 1. $$
Definição 3.1.
Definição 3.2.
Definição 3.3.
Dizemos que uma função regular \ (G \) como na Definição 3.1 é uma função Lyapunov para o \ (d \) - dimensional semimartingale \ (X \) se para alguma função \ (DG \) como na Definição 3.1, o finito - Variation process \ (\ varGamma ^ \) de (3.2) é realmente não decrescente.
Por exemplo, suponha que \ (G \) seja uma função Lyapunov como na Definição 3.3 e o processo \ (\) em (3.1) seja ortogonal localmente para \ (X \) no sentido de que \ (\ int_ ^ \ sum _ ^ \ vartheta_ (t) \ mathrm X_ (t) \ equiv0 \). Daqui a seguir, a partir de (3.2) que o processo \ (G (X) = G (X (0)) - \ varGamma ^ \) em (3.3) não está aumentando, então \ (G \) é uma função Lyapunov na seção " senso clássico ".
O processo \ (\ varGamma ^ \) em (3.2) pode depender da escolha de \ (DG \). Por exemplo, considere a situação em que cada componente de \ (\ mu \) é de primeira variação finita, mas não constante; então é fácil ver que diferentes opções de \ (DG \) levam a processos diferentes \ (\ varGamma ^ \) em (3.2) para \ (X = \ mu \). No entanto, se um deflator para \ (\ mu \) existir, temos o seguinte resultado de singularidade.
Proposição 3.5.
Se uma função \ (G: \ mathrm (\ mu) \ rightarrow \ mathbb \) for regular para o processo vetorial \ (\ mu =, \ dots, \ mu_)> ^ \) de pesos de mercado e se um deflator para \ (\ mu \) existe, então o processo contínuo, adaptado, de variação finita \ (\ varGamma ^ \) de (3.2) não depende da escolha de \ (DG \).
Suponha que existe um deflator \ (Z \) para o processo vetorial \ (\ mu \) de pesos de mercado, bem como duas funções \ (DG \), \ (\ widetilde \) como na Definição 3.1 para \ (X = \ mu \) com processos correspondentes \ (\), \ (\ widetilde> \) em (3.1) e \ (\ varGamma ^ \), \ (\ widetilde ^ \) em (3.2). Lembre-se de que \ (Z \) pode ser assumido como contínuo. Precisamos mostrar \ (\ varGamma ^ = \ widetilde ^ \), ou equivalentemente, \ (\ varUpsilon \ equiv 0 \), até a indistinguibilidade, com a notação \ (\ varUpsilon: = \ int_ ^ \ sum_ ^ _ ( t) \, \ mathrm \ mu _ (t) \) e \ (: = - \ widetilde> \).
3.1 Condições suficientes para que uma função seja regular ou Lyapunov.
Exemplo 3.6.
$$ \ mathbb [\ mu (t) \ in \ mathcal, \, \, \ forall \, \, t \ geq0] = 1. $$
Muito mais geralmente, temos os seguintes resultados.
Teorema 3.7.
\ (G \) pode ser estendido para uma função contínua e côncava no conjunto \ (\ varDelta ^ \) de (2.3), e existe um deflator para o processo vetorial \ (\ mu = (\ mu_, \ dots, \ mu_) '\) de pesos de mercado.
Nós nos referimos a Sect. 7 para uma revisão de algumas noções básicas da convexidade, e para a prova do Theorem 3.7. A existência de um deflator é essencial para a suficiência no Teorema 3.7 (iii) (isto é, sempre que o processo de peso do mercado \ (\ mu \) é "permitido atingir um limite"), conforme ilustrado no Exemplo 7.3 abaixo.
3.2 Funções regulares baseadas em Rank e Lyapunov.
Teorema 3.8.
\ (\ boldsymbol \) pode ser estendido para uma função contínua e côncava no conjunto \ (^ _ \) de (3.6).
Nos referimos novamente à Sect. 7 para a prova do teorema 3.8. Uma simples modificação do Exemplo 7.3 ilustra que uma função \ (\ boldsymbol \) pode ser côncava e contínua em \ (\ mathbb ^ \) sem ser regular para \ (> \). Na verdade, isso pode acontecer mesmo quando existe um deflator para \ (\ mu \), como ilustra o Exemplo 7.4.
Exemplo 3.9.
O exemplo 3.6 tem uma formulação equivalente para o caso baseado em rank. Suponha novamente que a função \ (\ boldsymbol: \ mathrm (\ boldsymbol) \ rightarrow \ mathbb \) pode ser estendida para uma função duas vezes continuamente diferenciável em algum conjunto aberto \ (\ mathcal \ subset \ mathbb ^ \) com \ (\ mathbb [\ boldsymbol (t) \ in \ mathcal, \ forall t \ geq0] = 1 \). Então \ (\ boldsymbol \) é regular para \ (\ boldsymbol \). De fato, como no Exemplo 3.6, a aplicação da fórmula de Itô cai.
Exemplo 3.10.
Consideremos a função \ (\ boldsymbol: \ mathbb ^ \ to [0,1] \) definido por \ (\ boldsymbol (x): = x_ \). Este \ (\ boldsymbol \) é duas vezes continuamente diferenciável e côncavo. Em particular, como no Exemplo 3.6, \ (\ boldsymbol \) é uma função Lyapunov para o processo \ (\ boldsymbol \) em (3.9).
4 Estratégias de negociação geradas funcionalmente.
Apresentamos nesta seção a nova noção de geração funcional aditiva de estratégias de negociação e estudamos suas propriedades. Para simplificar a notação, e quando é claro a partir do contexto, escrevemos a partir de agora \ (V ^ \) (respectivamente, \ (Q ^ \)), para denotar o processo de valor \ (V ^ (\ cdot; \ mu ) \) dado em (2.5) (respectivamente, o defeito do processo de autofinanciamento \ (Q ^ (\ cdot; \ mu) \) de (2.6)) para \ (X = \ mu \). A Proposição 2.2 nos permite então interpretar \ (V ^ = V ^ (\ cdot; \ mu) = V ^ (\ cdot; S) / \ varSigma \) como o "valor relativo" da estratégia de negociação \ (\ vartheta \ em \ mathscr (S) \) em relação ao portfólio de mercado.
4.1 Geração de aditivos.
Definição 4.1.
Dizemos que a estratégia de negociação \ (= (_, \ ldots, _) '\ in \ mathscr (\ mu) \) de (4.1) é gerada aditivamente pela função regular \ (G: \ mathrm (\ mu) \ rightarrow \ mathbb \).
Pode haver duas estratégias de negociação diferentes \ (\ neq \ widetilde \), ambas geradas de forma aditiva pela mesma função regular \ (G \). Isso ocorre porque a função \ (DG \) na Definição 3.1 não precisa ser única. No entanto, se houver um deflator para \ (\ mu \), então o processo \ (\ varGamma ^ \) é determinado exclusivamente pela indistinguibilidade pela Proposição 3.5, e (4.3) abaixo dos rendimentos \ (V ^> = V ^> \).
Proposição 4.3.
Observação 4.4.
Para implementar a estratégia de negociação \ (\ varphi \) em (4.5) em algum tempo dado \ (t & gt; 0 \), vamos assumir que foi implementado até o momento \ (t \). Agora basta para calcular \ (D_ G (\ mu (t)) \) para cada \ (i = 1, \ dots, d \) e para comprar exatamente \ (D_ G (\ mu (t)) \) partes do \ (i \) th asset. Se não toda a riqueza for investida dessa maneira, isto é, se a quantidade \ (w (t) \) for positiva, então, compra-se exatamente \ (w (t) \) ações de cada recurso, custando exatamente \ (\ sum _ ^ w (t) \ mu_ (t) = w (t) \). Se \ (w (t) \) for negativo, um vende esses \ (| w (t) | \) em vez de comprá-los. Assim, a implementação da estratégia gerada funcionalmente não requer a computação de qualquer integral estocástica.
Se a função \ (G \) não for negativa e côncava, o resultado a seguir garante que a estratégia que ele gera contenha uma quantidade não negativa de cada recurso, mesmo que \ (D_ G (\ mu (t)) \) seja negativo para alguns \ (i = 1, \ dots, d \).
Proposição 4.5.
Suponha que uma das três condições no Theorem 3.7 seja válida para alguma função contínua \ (G: \ mathrm (\ mu) \ rightarrow [0, \ infty) \). Então, existe uma estratégia de negociação \ (\), gerada aditivamente por \ (G \), que é "apenas por muito tempo", i. e. satisfaz \ (_ \ ge0 \) para cada \ (i = 1, \ dots, d \).
A prova da Proposição 4.5 requer alguma análise convexa e é apresentada na Sect. 7.1 abaixo.
4.2 Geração multiplicativa.
Definição 4.7.
A estratégia de negociação \ (= (_, \ dots, _) '\ in \ mathscr (\ mu) \) de (4.10), (4.9) é dita ser gerada de forma multiplicativa pela função \ (G: \ mathrm (\ mu) \ rightarrow [0, \ infty) \).
A Proposição 4.3 possui a seguinte contrapartida.
Proposição 4.8.
É fácil ver como o processo de portfólio \ (\) em (4.8) é obtido de (4.12) da mesma forma que (4.6), uma vez que \ (V ^ \) é estritamente positivo. A representação em (4.11) é uma equação mestre generalizada no espírito do Teorema 3.1.5 em [7]; Tanto ele como a sua versão aditiva (4.3) têm a propriedade notável de que não envolvem nenhuma integração estocástica.
4.3 Comparação de geração funcional aditiva e multiplicativa.
É instrutivo neste momento comparar a geração funcional aditiva e multiplicativa. Em um nível puramente formal, a geração multiplicativa da Definição 4.7 requer uma função regular \ (G \) com a propriedade que \ (1 / G (\ mu) \) é associada localmente. Por outro lado, a geração funcional aditiva requer apenas a regularidade da função \ (G \).
No tempo \ (t = 0 \), a estratégia aditivamente gerada concorda com a gerada de forma multiplicativa; isto é, temos \ (\ varphi (0) = \ psi (0) \) na notação de (4.5) e (4.12). No entanto, a qualquer momento \ (t & gt; 0 \) com \ (\ varGamma ^ (t) \ neq0 \), essas duas estratégias geralmente diferem; Isso é visto com mais facilidade, observando as correspondentes carteiras (4.7) e (4.8). Mais precisamente, as duas estratégias diferem na maneira como alocam a proporção de sua riqueza capturada pelo processo de "ganhos acumulados" da variação finita \ (\ varGamma ^ \). A estratégia gerada aditivamente tenta alocar esta proporção uniformemente em todos os ativos do mercado, ao passo que a estratégia gerada multiplicativamente tende a corrigir esse valor ajustando proporcionalmente as participações patrimoniais.
Ramificações: a diferença acima nas duas estratégias leva a duas observações.
Primeiro, se alguém estiver interessado em uma estratégia de negociação que investe ao longo do tempo apenas em um subconjunto do mercado, como, por exemplo, o conjunto de "ações de pequena capitalização", as estratégias geradas multiplicativamente pelas funções \ (G \) que satisfaça a propriedade "saldo" \ (\ sum_ ^ x_ D_ G (x) = G (x) \) para todos \ (x \ in \ varDelta ^ \) são apropriados. Se, por outro lado, se quiser investir os ganhos da estratégia de negociação em uma proporção de todo o mercado, a geração de aditivos é mais adequada. Isto é ilustrado adicionalmente pelos Exemplos 6.2 e 6.3.
Comparação de carteiras: comparemos as duas carteiras em (4.7) e (4.8) mais de perto. Essas carteiras diferem apenas nos denominadores dentro dos colchetes nos lados da direita.
Informando as quantidades de (4,8) necessidades, em qualquer momento \ (t \ geq0 \), conhecimento da configuração de pesos de mercado \ (\ mu_ (t), \ dots, \ mu_ (t) \) prevalente naquele momento - e nada mais . Em contraste, as quantidades de (4.7) precisam, além dos pesos atuais do mercado \ (\ mu_ (t), \ dots, \ mu_ (t) \), o valor atual \ (V ^> (t) \) da riqueza gerada pelo portfólio. Um calcula esse valor de todo o histórico dos pesos do mercado durante o intervalo \ ([0, t] \), através das integrais de Lebesgue-Stieltjes, digamos, (3.5). Este é também o caso quando essas carteiras em (4.7), (4.8) são expressas como estratégias de negociação, como em (4.5), (4.12).
5 Condições suficientes para a arbitragem relativa.
Desenvolvemos até agora a maquinaria necessária para apresentar condições suficientes para a possibilidade de superar o mercado como na Sect. 2.3 - pelo menos sobre horizontes de tempo suficientemente longos.
Nesta seção, \ (G: \ mathrm (\ mu) \ rightarrow [0, \ infty) \) é uma função não negativa, regular para o processo de peso do mercado \ (\ mu \) e com \ (G (\ mu (0)) = 1 \). Essa normalização assegura que a riqueza inicial de uma estratégia funcionalmente gerada comece com um dólar, conforme exigido por (2.10); veja (4.3) e (4.11). Essa normalização sempre pode ser alcançada ao substituir \ (G \) por \ (G + 1 \) se \ (G (\ mu (0)) = 0 \), ou por \ (G / G (\ mu (0 )) \) se \ (G (\ mu (0)) & gt; 0 \).
Teorema 5.1.
Recordamos as observações em Observação 2.4 e observamos que (4.3) produz \ (V ^> (0) = 1 \), \ (V ^> (\ cdot) \ geq0 \) e \ (V ^> (T) = G (\ mu (T)) + \ varGamma ^ (T) \ ge \ varGamma ^ (T_) & gt; 1 \) para todos \ (T \ geq T_ \). □
O seguinte resultado complementa o Theorem 5.1.
Teorema 5.2.
$$ \ mathbb [\ varGamma ^ (T_) & gt; 1 + \ varepsilon] = 1. $$
Se \ (G \) é uma função Lyapunov, então \ (\ mathbb [\ varGamma ^ (T) & gt; 1 + \ varepsilon] = 1 \) e as desigualdades em (5.2) são válidas para todos \ (T \ ge T_ \), e o mesmo raciocínio como acima funciona mais uma vez. □
5.1 Funções entropicas e quadráticas.
Nós ilustramos aqui os Teoremas 5.1 e 5.2 com dois exemplos.
Exemplo 5.3.
implica que \ (\ langle \ mu_ \ rangle (\ mathscr) = 0 \) mantenha no evento \ (\ \), para cada \ (i = 1, \ dots, d \); a existência de um deflator leva então a \ (\ mu_ (t) = \ mu_ (0) \) para tudo \ (0 \ le t \ le \ mathscr \) e isto para \ (\ mathbb [\ tau & lt; \ infty] = 0 \).
$$ \ mathbb \ big [\ varGamma ^ (T) & gt; H \ big (\ mu (0) \ big) \ big] = 1 \ qquad \ text \ qquad \ mathbb \ big [\ varGamma ^ (T) & gt; H \ big (\ mu (0) \ big) + \ varepsilon \ big] = 1, $$
Por exemplo, se \ (\ mathbb [\ varGamma ^ (t) \ ge \ eta t, \ forall t \ geq0] = 1 \) detém para alguma constante real \ (\ eta & gt; 0 \), forte arbitragem relativa com respeito para o mercado existe em qualquer horizonte de tempo \ ([0, T] \) com \ (T & gt; H (\ mu (0)) / \ eta \). Vale ressaltar que a estratégia gerada aditivamente \ (\ varphi \) é a mesma para todos esses horizontes de tempo, ao passo que a estratégia \ (\ psi ^ \) gerada multiplicativamente precisa do cálculo "offline" da constante \ (c = c (T, \ varepsilon) & gt; 0 \) para cada um desses horizontes separadamente.
Tem sido um problema aberto de longa data, datado de [10], se a validade de \ (\ mathbb [\ varGamma ^ (t) \ ge \ eta t, \ forall t \ geq0] = 1 \) para alguns reais constante \ (\ eta & gt; 0 \) pode garantir a existência de uma estratégia que implemente arbitragem relativa em relação ao mercado em qualquer horizonte de tempo \ ([0, T] \), de comprimento arbitrário \ (T \ in (0, \ infty) \). Para exemplos explícitos mostrando que isso não é possível em geral, veja o documento complementar [11].
Exemplo 5.5.
$$ \ mathbb \ bigg [\ sum_ ^ \ langle \ mu_ \ rangle (T) & gt; Q ^ \ big (\ mu (0) \ big) + \ varepsilon \ bigg] = 1 $$
Por exemplo, se \ (\ mathbb [\ sum_ ^ \ langle \ mu_ \ rangle (t) \ ge \ eta t, \ forall t \ geq0] = 1 \), existe uma arbitragem relativa sólida, aditivamente e multiplicativamente, com respeito para o mercado em qualquer horizonte de tempo \ ([0, T] \) com.
6 Outros exemplos.
Nesta seção, coletamos vários exemplos, ilustrando uma variedade de funções de Lyapunov e as estratégias de negociação que essas funções geram. Ao contrário de suas contrapartes nos Exemplos 5.3 e 5.5, as funções regulares consideradas nesta seção não são diferenciáveis ​​duas vezes; como resultado, seus processos de ganhos correspondentes possuem componentes que são tipicamente singulares em relação à medida de Lebesgue e são expressos em termos de horários locais.
Exemplo 6.1.
Agora apresentamos exemplos de geração funcional de estratégias de negociação com base em classificações.
Exemplo 6.2.
No contexto do exemplo presente, podemos pensar em \ (d = 500> \), como em todo o mercado dos EUA, e de \ (m = 500 \), como no S & amp; P 500. Alternativamente, podemos considere \ (m = 1 \), quando somos inflexíveis sobre o investimento apenas na maior empresa do mercado. O processo não crescente \ (\ varGamma ^> \) captura o "vazamento" que essa estratégia de negociação sofre sempre que tem para vender - em perda - um estoque que caiu do índice de capitalização mais alto e foi relegado para o " ligas menores (capitalização) ".
Exemplo 6.3.
É fácil ver novamente que a estratégia gerada aditivamente investe em todos os ativos, desde que \ (\ varGamma ^> \) não seja idênticamente igual a zero e que a estratégia gerada multiplicativamente investe apenas nos estoques menores \ (dm \) .
Exemplo 6.4.
A função \ (\ boldsymbol \) é suposto ser côncava, então este processo de variação finita é não decrescente; Portanto, \ (G \) é uma função de Lyapunov. Se \ (\ boldsymbol \) não for negativo e \ (G (\ mu (0)) & gt; 0 \), o Teorema 5.1 mostra agora que para algum número dado \ (T & gt; 0 \) existe uma forte arbitragem relativa em relação a o mercado sobre o horizonte \ ([0, T] \), desde que \ (\ mathbb [\ varGamma ^> (T) & gt; G ((0))] = 1 \). Por exemplo, se \ (\ boldsymbol \) é duas vezes diferenciável, nós temos.
7 Transformações côncavas de semimartingales.
7.1 As provas dos teoremas 3.7 e 3.8 e da Proposição 4.5.
do teorema 3.7 Procedemos em três etapas.
A identificação é baseada no operador de projeção one-to-one "\ (\ mathfrak \), ou seja, o mapeamento \ (^ _ \ ni (x_, \ dots, x_) \ mapsto (x_, \ dots, x_) \ in \ mathbb ^ \) com a notação de (3.6). Desta forma, uma função de valor real \ (G \) em \ (^ _ \) ou em \ (^ _ \) é identificada com a função \ (G_ = G \ circ \ mathfrak ^ \) em \ (^ _ \) ou em \ (\ mathbb ^ \), respectivamente, e vice-versa. Note que \ (G \) é côncavo em \ (^ _ \) ou em \ (^ _ \) se e somente se \ (G_ \) for côncavo em \ (^ _ \) ou em \ (\ mathbb ^ \ ), respectivamente.
Passo 2: Comecemos impondo qualquer condição (i) ou (ii). Lembramos do Theorem 10.4 em [24] (veja também [30], bem como [23]) que a função côncava \ (G_ = G \ circ \ mathfrak ^ \) é localmente Lipschitz no conjunto aberto \ (^ _ \ ) de (7.2) ou em \ (\ mathbb ^ \), respectivamente. Theorem VI.8 in [ 19 ], along with [ 6 , Remark VII.34(a)], now yields that the process \(G(\mu)\) is a semimartingale.
The proof of Theorem 3.7 shows that every continuous, concave function \(G\) is regular, and the \(\mathit \) in the corresponding Itô formula of ( 3.2 ) may be chosen (at least in the set \(\varDelta ^ _ \) ) to be a measurable supergradient of \(G\) . This observation motivates also the following question.
Assume that a function \(G\) is regular and weakly differentiable with gradient \(\widetilde >\) . Is it then possible to choose \(\mathit = \widetilde >\) in ( 3.1 ) and ( 3.2 ) ?
The answer is, of course, affirmative if the function \(G\) is actually twice continuously differentiable, as in Example 3.6 . It is also affirmative if \(G\) is concave, thanks to [ 3 ].
Concerning a representation of the finite-variation process \(\varGamma^ \) , the proof of Theorem 3.7 does not yield any deep insights (the arguments in [ 3 , 4 , 13 ] yield a representation of \(\varGamma^ \) as a limit of mollified second-order terms). This leads to yet another question as follows.
The representation ( 7.6 ) is also valid in the Russo/Vallois [ 25 , 26 ] framework of stochastic integration and with their interpretation of the brackets \([ _ , \mu_ ] \) , whenever \(G\) is of class \(C^ \) and the continuous semimartingale \(\mu\) is “reversible” in the sense that \(\mu(T-t),\, 0 \le t \le T\) , is a continuous semimartingale in its own filtration for every \(T\in(0, \infty)\) ; see [ 25 , Theorem 2.3].
Proof.
of Proposition 4.5 Theorem 3.7 shows that \(G\) is a Lyapunov function; its proof also reveals that \(\mathit \) can be chosen to be a supergradient of \(G\) if (i) or (ii) hold. If neither (i) nor (ii) holds, but (iii) does, we may choose \(\mathit \) to be a supergradient of \(G\) in \(\varDelta ^ _ \) . In that case, for \(x \in \varDelta ^ \setminus \varDelta ^ _ \) and \(i = 1, \dots, d\) , we define \(D_ G(x)\) as follows: if \(x_ \in(0,1)\) , we declare \(D_ G(x)\) to be the corresponding component of the supergradient of a concave function \(\widetilde \) with domain \(\varDelta ^ \) for some \(m< d\) ; and if \(x_ \in\ \) , we declare \(D_ G(x)\) to be the term \(\sum_ \in(0,1)> x_ D_ G(x)\) .
If \(x_ = 1\) , then \(x_ = 0\) for all \(j = 1, \dots, d\) with \(j \neq i\) ; the left-hand side of ( 7.7 ) is then equal to \(G(x)\) , which is nonnegative by assumption.
Finally, we consider the case \(x_ = 0\) . Under condition (i), no argument is required since \(\mu_ > 0\) with probability one. Under condition (ii), the same computations as in ( 7.8 ) and ( 7.9 ) hold. Under condition (iii), we observe again that the the left-hand side of ( 7.7 ) equals \(G(x)\) , by the definition of \(\mathit \) . As above, the nonnegativity of \(G\) yields ( 7.7 ). □
7.2 Two counterexamples.
Example 7.3.
A condition such as the existence of a deflator in Theorem 3.7 (iii) is needed for the result to hold. Even for a one-dimensional semimartingale \(X \) taking values in the unit interval \([0,1]\) and absorbed when it hits one of its endpoints, and with a concave function \(G: [0,1] \to[0,1]\) , the process \(G(X )\) need not be a semimartingale.
To put this example in the context of Theorem 3.7 , just set \(d=2\) , \(\mu_ := X \) and \(\mu_ := 1- \mu_ \) . Then there exists no deflator for the process \(\mu=(\mu_ , \mu_ )\) , and the concave and continuous function \(G(x_ , x_ ) := \sqrt >\) , \((x_ , x_ ) \in \varDelta ^ \) , is not regular for the process \(\mu\) .
Example 7.4.
We now modify Example 7.3 to obtain a setup in which a deflator for the vector process \(\mu \) exists, the function \(\boldsymbol : \mathbb ^ \rightarrow[0,1]\) is continuous and concave, but \(\boldsymbol \) is not regular for \(\boldsymbol = \mathfrak (\mu)\) in the notation of ( 3.7 ) and ( 3.9 ), and neither is \(G = > \circ\mathfrak \) regular for the process \(\mu\) .
To this end, set \(d = 2\) and let \(B \) denote a Brownian motion starting at \(B(0)=1\) , and stopped when hitting 0 or 2. We set \(\mu_ := B /2\) and \(\mu_ := 1-B /2 = 1 - \mu_ \) . Since \(\mu_ \) and \(\mu_ \) are martingales, there exists a deflator for the vector process \(\mu\) ; indeed, \(Z \equiv1\) will serve as one. Next, consider the function \(\boldsymbol (x_ , x_ ) := \sqrt - x_ \,>\) for all \((x_,x_ ) \in\mathbb ^ = \mathrm ( \boldsymbol )\) . Clearly, \(\boldsymbol \) is concave and continuous on \(\mathbb ^ \) . However, by virtue of Lemma 7.5 below, the process \(G( \mu ) = \boldsymbol (\boldsymbol ) = \sqrt \) is not a semimartingale; thus, \(\boldsymbol \) is not regular for \(\boldsymbol \) , and neither is \(G\) regular for \(\mu\) .
Let \(W \) denote a Brownian motion starting in zero and \(\tau\) a strictly positive stopping time . Then the process \(\sqrt \) is not a semimartingale .
Formally at least, the conclusion follows from the results in [ 5 ], since, of course, the function \(f: \mathbb \ni x \mapsto\sqrt \) is not the difference of two convex functions.
Results in a similar vein appear in [ 5 ], especially Theorems 5.8 and 5.9, as well as in [ 20 ].
8 Conclusion.
Introduces an alternative, “additive” approach to the functional generation of trading strategies, and compares it to the “multiplicative” functional generation of E. R. Fernholz. Given a sufficiently large time horizon \(T_ >0\) and suitable conditions on the volatility structure of the market, the multiplicative version yields, for each \(T>T_ \) , a portfolio that strongly outperforms the market on \([0,T]\) ; this portfolio, however, depends on the length \(T\) of the time horizon. By contrast, the additive version yields a single trading strategy which strongly outperforms the market over every horizon \([0,T]\) with \(T \geq T_ \) .
Extends the class of functions that generate trading strategies. This paper introduces the notion of regular function. Such a function can generate a trading strategy. Modulo necessary technical conditions on boundary behavior, concave functions are shown to be regular (in fact Lyapunov, in the sense also introduced in the present work). This weakens the assumption of twice continuous differentiability, normally used in the extant work on this subject, and provides a unified framework for standard and rank-based generation, a long-standing open issue.
Weakens the assumptions on the market model. Functional generation is shown to work in markets where asset prices are continuous semimartingales which may also completely devalue. Moreover, major technical assumptions in rank-based generation are removed; for example, it is not necessary anymore to exclude models for which the set of times at which any two given asset prices are identical has strictly positive Lebesgue measure.
Agradecimentos.
We are grateful to Robert Fernholz for initiating this line of research and for encouraging us to think about the issues studied here. Many discussions with Kostas Kardaras helped us sharpen our thoughts. We are also deeply indebted to Adrian Banner, René Carmona, Christa Cuchiero, Freddy Delbaen, David Hobson, Tomoyuki Ichiba, Philip Protter, Mathieu Rosenbaum, Walter Schachermayer, Konrad Swanepoel, Kangjia’Nan Xie and Hao Xing for helpful comments, and Alexander Vervuurt and Minghan Yan for their detailed reading and suggestions on successive versions of this paper. We thank the anonymous referees and Associate Editor for their suggestions which improved this paper and we thank Martin Schweizer for his very careful reading and constructive feedback. I. K. acknowledges the support of the National Science Foundation under grant NSF-DMS-14-05210. J. R. acknowledges generous support from the Oxford-Man Institute of Quantitative Finance, University of Oxford.
Referências.
Informações sobre direitos autorais.
Open Access This article is distributed under the terms of the Creative Commons Attribution 4.0 International License (creativecommons. org/licenses/by/4.0/), which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided you give appropriate credit to the original author(s) and the source, provide a link to the Creative Commons license, and indicate if changes were made.
Autores e afiliações.
Ioannis Karatzas 1 2 Johannes Ruf 3 author 1. Department of Mathematics Columbia University New York USA 2. Intech Investment Management Princeton USA 3. Department of Mathematics London School of Economics and Political Science London UK.
Sobre este artigo.
Recomendações personalizadas.
Cite o artigo.
.RIS Papers Reference Manager RefWorks Zotero.
.BIB BibTeX JabRef Mendeley.
Compartilhe o artigo.
Cite o artigo.
.RIS Papers Reference Manager RefWorks Zotero.
.BIB BibTeX JabRef Mendeley.
Compartilhe o artigo.
Índice.
Mais de 10 milhões de documentos científicos ao seu alcance.
Switch Edition.
&cópia de; 2017 Springer International Publishing AG. Parte de Springer Nature.